Уравнение движения электропривода имеет вид. Основное уравнение движения электропривода
Получило название уравнения движения электропривода.
В общей форме записи оно имеет вид:
где - угловое ускорение одномассовой системы.
В уравнении движения «+» ставится в том случае, когда направление М или М с совпадает с направлением скорости вращения ω , а знак «-», когда они направлены противоположно.
Знак «+» перед М соответствует двигательному режиму работы электрического привода : двигатель преобразовывает ЭЭ в МЭ, развивает вращающий момент М и вращает одномассовую систему в направлении вращающего момента.
Знак «-» перед М соответствует режиму электрического торможения . Для перевода в этот режим работающего электропривода схема его включения или её параметры изменяется таким образом, что изменяется на противоположное направление вращающего момента М. А., поскольку направление вращения сохраняется под действием инерционных сил, вращающий момент двигателя начинает тормозить движение одномассовой системы. Двигатель переходит в генераторный режим работы. Он забирает запасённую в механической части привода МЭ, снижая тем самым скорость вращения, преобразовывает её в ЭЭ и либо возвращает ЭЭ в сеть, либо она расходуется на нагрев двигателя.
Знак «+» перед М с говорит о том, что М с способствует вращению.
Знак «-» говорит о том, что препятствует.
Все моменты сопротивления можно разделить на две категории: 1 - реактивные М с ; 2 - активные или потенциальные М с .
В первую категорию входят моменты сопротивления, появление которых связано с необходимостью преодолевать трение. Они всегда препятствуют движению электропривода и изменяют свой знак при изменении направления вращения.
Во вторую категорию входят моменты от силы тяжести, а также от растяжения, сжатия или скручивания упругих тел. Они связаны с изменением потенциальной энергии отдельных элементов кинематической схемы. Поэтому они могут как препятствовать, так и способствовать движению, не изменяя своего знака при изменении направления вращения.
Правая часть уравнения движения носит название динамического момента М д и проявляется только во время переходных режимов. При М д >0 и , т.е. имеет место ускорение механической части привода. При М д <0 и имеет место замедление. При М = М с, М д = 0 и т.е. в данном случае привод работает в установившемся режиме, т.е. механическая часть вращается с постоянной скоростью.
На примере электропривода подъёмной лебёдки можно рассмотреть все четыре формы записи уравнения движения электропривода.
В первом случае электропривод включён в направлении подъёма груза. Двигатель работает в двигательном режиме. Груз, подвешенный на крюке, создаёт момент сопротивления, препятствующий вращению.
Тогда уравнение движения будет иметь вид:
Во втором случае в конце подъёма груза двигатель переводится в режим электрического торможения и его момент, как и момент сопротивления, будет препятствовать вращению.
Уравнение движения в этом случае имеет вид:
В третьем случае электропривод включён в направлении опускания груза, т.е. двигатель работает в двигательном режиме. Поскольку момент сопротивления, создаваемый поднятым грузом, является активным, то при опускании груза он будет не препятствовать, а способствовать вращению.
Уравнение движения имеет вид:
В четвёртом случае в конце опускания груза двигатель опять переводится в режим электрического торможения, а момент сопротивления продолжает вращать двигатель в направлении спуска.
В этом случае уравнение движения имеет вид:
При ускорении или замедлении электропривод работает в переходном режиме, вид которого полностью определяется законом изменения динамического момента М д. Последний, являясь функцией вращающего момента М и момента сопротивления М с, может зависеть от скорости, времени или положения рабочего органа ТМ.
При исследовании переходного режима находят зависимости М(t) , ω(t) а также длительность переходного режима. Последнее представляет особый интерес, так как время ускорения и замедления могут существенно влиять на производительность механизма.
Определение времени работы электропривода в переходном режиме основано на интегрировании уравнения движения электропривода.
Для режима пуска, когда имеет место ускорение привода, уравнение движения электропривода имеет вид:
Разделив переменные уравнения, получим:
Тогда время, необходимое для увеличения скорости от ω 1 до ω 2 , t 1,2 можно найти, проинтегрировав последние уравнения:
Для решения этого интеграла необходимо знать зависимости моментов двигателя и механизма от скорости. Такие зависимости ω=f(М) и ω=f(М с) называются механическими характеристиками соответственно двигателя и технологической машины.
Механическую характеристику всех ТМ можно разделить на четыре категории: 1- величина М с не зависит от скорости. Такой характеристикой обладают подъёмные механизмы, конвейеры с постоянной массой перемещаемого материала, а также все механизмы, у которых основным моментом сопротивления является момент трения; 2 - М с линейно возрастает с ростом скорости. Такую характеристику имеет генератор постоянного тока с независимым возбуждением; 3 - М с нелинейно возрастает с ростом нагрузки. Такую характеристику имеет вентилятор, гребной винт корабля, центробежный насос; 4 - М с нелинейно убывает с возрастанием скорости. Такой характеристикой обладают некоторые металлорежущие станки.
Механические характеристики двигателей подробно будут рассматриваться в дальнейшем. Однако, если пуск двигателя происходит в системе с обратной связью по моменту, то момент двигателя не зависит от скорости.
Приняв М и М с не зависящими от скорости величинами, получаем простейший случай решения интеграла. Величина времени разгона t 1,2 будет равна:
Для режима электрического торможения, когда имеет место замедление привода, уравнение движения имеет вид:
Разделив переменные, получим:
Время, необходимое для уменьшения скорости от ω 2 до ω 1 t 2,1 , будет равно:
Знак «-» из подынтегрального выражения можно убрать, поменяв местами пределы интегрирования. Получим:
При М=const , М с =const время торможения будет равно:
Если величины М и М с находятся в сложной зависимости от скорости, то уравнение движения аналитически не решается. Необходимо использовать приближённые методы решения.
Выше были рассмотрены условия работы электропривода в установившемся режиме, когда момент, развиваемый двигателем, равен моменту сопротивления механизма и скорость привода является постоянной. Однако во многих случаях привод ускоряется или замедляется, и тогда возникает инерционная сила или инерционный момент, которые двигатель должен преодолевать, находясь в переходном режиме. Таким образом, переходным режимом электропривода называют режим работы при переходе от одного установившегося состояния к другому, когда изменяются скорость, момент и ток.
Причинами возникновения переходных режимов в электроприводах является либо изменение нагрузки, связанное с производственным процессом, либо воздействие на электропривод при управлении им, т. е. пуск, торможение, изменение направления вращения и т. п. Переходные режимы в электроприводах могут возникнуть также в результате аварий или нарушения нормальных условий электроснабжения (например, изменения напряжения или частоты сети, несимметрия напряжения и т. п.).
Уравнение движения электропривода должно учитывать все силы и моменты, действующие в переходных режимах.
При поступательном движении движущая сила всегда уравновешивается силой сопротивления машины и инерционной силой , возникающей при изменениях скорости. Если масса тела выражена в килограммах, а скорость – в метрах в секунду, то сила инерции, как и другие силы, действующие в рабочей машине, измеряются в ньютонах (кг·м·с -2).
В соответствии с изложенным уравнение равновесия сил при поступательном движении записывается так:
. (2.14)
Аналогично уравнение равновесия моментов, Н·м, для вращательного движения (уравнение движения привода) имеет следующий вид:
. (2.15)
Уравнение (2.15) показывает, что развиваемый двигателем вращающий момент уравновешивается моментом сопротивления на его валу и инерционным или динамическим моментом . В (2.14) и (2.15) принято, что масса тела и соответственно момент инерции привода являются постоянными, что справедливо для значительного числа производственных механизмов. Из анализа (2.15) видно:
1) при 
, т. е. имеет место ускорение привода;
2) при 
, т.е. имеет место замедление привода (очевидно, что замедление привода может быть и при отрицательном значении момента двигателя);
3) при 
, в данном случае привод работает в установившемся режиме.
Вращающий момент, развиваемый двигателем при работе, принимается положительным, если он направлен в сторону движения привода. Если он направлен в сторону обратную движению, то он считается отрицательным. Знак минус перед , указывает на тормозящее действие момента сопротивления, что отвечает усилию резания, потерям трения, подъему груза, сжатию пружины и т. п. при положительном знаке скорости.
При спуске груза, раскручивании или разжатии пружины и т. п. перед ставится знак плюс, поскольку в этих случаях момент сопротивления помогает вращению привода.
Инерционный (динамический) момент (правая часть уравнения моментов) проявляется только во время переходных режимов, когда изменяется скорость привода. При ускорении привода этот момент направлен против движения, а при торможении он поддерживает движение. Инерционный момент как по значению, так и по знаку определяется алгебраической суммой моментов двигателя и момента сопротивления.
При учете сказанного о знаках моментов формула (2.15) соответствует работе двигателя в двигательном режиме при реактивном моменте сопротивления (или при потенциальном тормозящем моменте сопротивления). В общем виде уравнение движения привода может быть записано следующим образом:
. (2.16)
Выбор знаков перед значениями моментов в (2.16) зависит от режима работы двигателя и характера моментов сопротивления.
ТИПОВЫЕ РАСЧЕТЫ В ЭЛЕКТРОПРИВОДЕ
Механика электропривода
4.1.1. Приведение статических моментов и моментов инерции к валу двигателя
Механическая часть рабочих органов (РО) содержит элементы, вращающиеся с разными скоростями. Передаваемые моменты в связи с этим
также различны. Поэтому необходимо заменить реальную кинематическую
схему РО на расчетную схему, в которой все элементы вращаются со скоростью вала приведения. Чаще всего приведение осуществляют к валу
двигателя.
В задачах требуется по известной кинематической схеме РО составить
расчетную схему, в которой моменты сопротивления движению (статические моменты) и моменты инерции приводятся к валу двигателя. Для этого необходимо изучить кинематическую схему РО, разобраться с принципом работы механической части, выявить основную его технологическую работу и места выделения потерь мощности.
Критерием приведения статических моментов к валу двигателя является энергетический баланс механической части электропривода, обеспечивающий равенство мощностей реальной и расчетной схем электропривода.
Критерием приведения моментов инерции к валу двигателя является равенство запаса кинетической энергии механической части реальной и расчетной схем электропривода.
Критерием приведения жесткости упругой системы к валу двигателя
является равенство запаса потенциальной энергии упругого звена механической части в реальной и расчетной схемах электропривода.
Статические моменты, моменты инерции на валу РО рассчитываются по формулам .
на валу РО и на валу двигателя по заданным технологическим параметрам
механизма подачи (таблица 2.1.1.2, вариант 35).
Технологические данные механизма подачи станка:
F х =6 кН; m=2,4 т; v=42 мм/с; D хв =44 мм; m хв =100 кг; α=5,5°; φ=4°;
i 12 =5, J дв =0,2 кгм2; J1=0,03 кгм 2 ; J2=0,6 кгм 2 ; η 12 =0,9; μ с =0,08.
Решение
После изучения принципа работы механизма и его кинематической схемы определяем участки выделения потерь:
– в редукторе (потери учитываются кпд η 12);
– в передаче « винт – гайка » (потери рассчитываются углом трения φ в нарезке винта);
– в подшипниках ходового винта (потери рассчитываются через коэффициент трения в подшипниках, однако в рассмотренной литературе эти
потери не учитываются).
4.1.1.1. Угловая скорость ходового винта (рабочего органа)
ω ро = v/ρ ,
где ρ – радиус приведения передачи « винт – гайка » с шагом h, диаметром
d ср и углом нарезки резьбы α.
ρ = v/ω ро = h/ (2*π) = (π*d ср *tg α) / (2*π) = (d ср /2)*tg α.
ρ = (d ср /2)*tg α = (44/2)*tg 5,5° = 2,12 мм.
ω ро = v/ρ = 42/2,12 = 19,8 рад/с.
4.1.1.2. Момент на валу ходового винта (рабочего органа) с учетом потерь в
передаче «винт – гайка» углом трения φ:
М ро = F п *(d ср /2)* tg (α + φ),
где F п – суммарное усилие подачи.
F п = 1,2*F х + (F z + F y + 9,81*m)*μ с =
1,2*F x + (2,5*F x + 0,8*F x + 9,81*m)*μ с =
1,2*6 + (2,5*6 + 0,8*6 + 9,81*2,4)*0,08 = 10,67 кН.
М ро = F п *(d ср /2)* tg (α + φ) =
10,67*(0,044/2)*tg (5,5° + 4°) = 39,27 Нм.
4.1.1.3. Мощность на валу рабочего органа полезная:
– без учета потерь в передаче « винт – гайка »
Р ро = F х *v = 6*103 42*10-3= 252 Вт;
– с учетом потерь
Р ро = М ро *ω ро = 39,27*19,8 = 777,5 Вт.
4.1.1.4. Статический момент, приведенный к валу двигателя,
М рс = М ро / (i 12 *η 12) = 39,27 / (5*0,9) = 8,73 Н*м.
4.1.1.5. Угловая скорость вала двигателя
ω дв = ω ро *i 12 = 19,8*5 = 99 рад /c.
4.1.1.6 Мощность на валу двигателя
Р дв = М рс *ω дв = 8,73*99,1 = 864,3 Вт.
Находим элементы кинематической схемы, запасающие кинетическую энергию: суппорт массой m, ходовой винт массой m хв, шестерни редуктора J1
и J2 , ротор электродвигателя – J дв.
4.1.1.7. Момент инерции рабочего органа определяется массой m суппорта,
перемещающейся со скоростью v, и моментом инерции ходового винта J хв.
Момент инерции поступательно движущегося суппорта
J с = m*v 2 / ω ро 2 = m*ρ 2 = 2400*0,002122 = 0,0106 кгм 2 .
Момент инерции ходового винта
J хв = m хв *(d ср /2) 2 = 100*(0,044 /2) 2 = 0,0484 кгм 2 .
Момент инерции рабочего органа
J ро = J с + J хв = 0,0106 + 0,0484 = 0,059 кгм 2 .
4.1.1.8. Момент инерции рабочего органа, приведенный к валу двигателя,
J пр = J ро / i 12 2 = 0,059 / 52 =0,00236 кгм 2 .
4.1.1.9. Момент инерции передачи, приведенный к валу двигателя,
J пер = J1 + J2 / i 12 2 = 0,03 + 0,6 / 52 = 0,054 кгм 2 .
4.1.1.10. Коэффициент, учитывающий момент инерции передачи в моменте
инерции ротора двигателя,
δ = (J дв +J пер)/J дв = (0,2 + 0,054) / 0,2 = 1,27.
4.1.1.11.Суммарный момент инерции механической части электропривода
J = δ*J дв + J пр = 1,27*0,2 + 0,00236 = 0,256 кгм 2 .
Основное уравнение движения электропривода
При переменных статических моментах и моментах инерции, зависящих от скорости, времени, угла поворота вала двигателя (линейного перемещения РО), уравнение движения электропривода записывается в общем виде:
М(х) – М с (х) = J(х)*dω / dt + (ω/2)*dJ(x)/ dt.
При постоянном моменте инерции J = const уравнение упрощается
М(х) – М с (х) = J*dω / dt, и его называют основным уравнением движения .
Правую часть уравнения М(х) – М с (х) = М дин называют динамическим
моментом. Знак М дин определяет знак производной dω/dt и состояние электропривода:
– М дин = dω / dt > 0 – двигатель разгоняется;
– М дин = dω / dt < 0 – двигатель снижает скорость;
– М дин = dω / dt = 0 – установившийся режим работы двигателя, его скорость неизменна.
Темп разгона зависит от момента инерции J электропривода, определяющего способность механической части электропривода запасать
кинетическую энергию.
Для анализа режимов работы и решения задач удобнее записать основное уравнение движения в относительных единицах (о.е.). Приняв за базовые значения момента М б = М н – номинальный электромагнитный момент двигателя, скорости ω б = ω он – скорость идеального холостого хода при номинальном напряжении на якоре и номинальном токе возбуждения, основное уравнение движения в о.е. записывается в виде
М - М с = Т д * dω/dt,
где T д = J * ω он / М н – электропривода, учитывающая и приведенный момент инерции РО. Наличие в уравнении Т д
свидетельствует о записи уравнения в о.е.
Задача 4.1.2.1
Рассчитать для механизма с двигателем (Р н =8,1 кВт, ω н = 90 рад/с, U н = 100 В, I н = 100 А) и суммарным моментом инерции J = 1 кгм 2 динамический момент М дин, ускорение электропривода ε, конечное значение скорости ω кон, угол поворота вала двигателя α за промежуток времени Δt = t i / T д = 0,5, если М = 1,5, М с = 0,5, ω нач =0,2.
Решение
Основное уравнение движения в о.е.
М − М с = Т д dω / dt
Механическая постоянная времени двигателя
Т д = J*ω он /М н.
Значения ω он и М н рассчитаем по каталожным данным двигателя (см. задачу 4.2.1).
Скорость идеального холостого хода
ω он = U н / кФ н = 100/1 = 100 рад/с.
Номинальный электромагнитный момент
М н = кФ н *I н = 1*100 = 100 Нм.
Механическая постоянная времени
Т д = J*ω он /М н = 1*100 / 100 = 1 с.
4.1.2.1. Динамический момент
М дин = М – М с = 1,5 – 0,5 = 1.
4.1.2.2. Ускорение электропривода (при t б = Т д)
ε= dω / (dt / T д) = (М – М с) = М дин = 1.
Приращение скорости за промежуток времени Δt = t i / T д = 0,5:
Δω = (М – М с)*t i / T д = (1,5 – 0,5) * 0,5 = 0,5.
4.1.2.3. Конечное значение скорости на участке
ω кон = ω нач + Δω = 0,2 + 0,5 = 0,7.
4.1.2.4. Приращение угла поворота
Δα = ω нач *Δt + (ω кон + ω нач)*Δt / 2 =
0,2 * 0,5 +(0,7 + 0,2)*0,5 / 2 = 0,325.
Определим полученные значения в абсолютных единицах:
М дин = М дин * М н = 1* 100 = 100 Нм;
ε = ε* ω он / t б = 1 * 100 / 1 = 100 рад / с 2 ;
Δω = Δω* ω он = 0,5* 100 = 50 рад / с;
ω кон = ω кон *ω он = 0,7*100 = 70 рад / с;
Δα = Δα * ω он *t б = 0,325*100 *1 = 32,5 рад.
4.1.3. Переходные процессы механической части электропривода
Для расчета и построения нагрузочных диаграмм М(t) и ω(t) используется решение основного уравнения движения
М − М с = Т д d ω / dt ,
из которого для конечных приращений при М = const и М c = const для заданного t i получим приращение скорости
Δω = (М – М с)*t i / Т д
и значение скорости в конце участка
ω = ω нач + Δω
Задача 4.1.3.1
Для двигателя (ω он =100 рад/с, M н =100 Нм, J=1кгм 2) рассчитать ускорение и построить переходный процесс ω(t), если М = 2, ω нач = 0, М с = 0.
Решение
Механическая постоянная времени
Т д = J * ω он / М н = 1 * 100 / 100 = 1 с.
Приращение скорости Δω = (М – М с)*t i / Т д = (2 – 0)*t i /Т д,
и при t i = Т д получаем Δω = 2.
Скорость за это время достигнет значения
ω = ω нач + Δω = 0+2 = 2.
Значения ω = 1 скорость достигнет за Δt = 0,5, в этот момент времени разгон прекращают, снижая момент двигателя до величины статического момента М = М с (см. рис. 4.1.3.1).
Рис. 4.1.3.1. Механический переходный процесс при М=const
Задача 4.1.3.2
Для двигателя (ω он =100 рад/с, M н =100 Нм, J=1кгм 2) рассчитать ускорение и построить переходный процесс реверса ω(t), если М = – 2, ω нач =
Решение
Приращение скорости
Δω = (М – М с)*t i / Т д = (–2 –1)* t i / Т д.
За базовое время t б =Т д приращение скорости Δω = –3, конечная скорость
ω кон = ω нач + Δω = 1–3 = – 2.
Двигатель остановится (ω кон = 0) при Δω = – 1 за время t i = Т д / 3. Реверс закончится при ω кон = – 1, при этом Δω = –2, t i = 2* Т д /3. В этот момент времени следует снизить момент двигателя до М = М с. Рассмотренный переходный процесс справедлив для активного статического момента (см.
рис. 4.1.3.2,а).
При реактивном статическом моменте, который изменяет свой знак при изменении направления движения, переходный процесс распадается на два
этапа. До остановки двигателя переходный процесс протекает также, как и при активном М с. Двигатель остановится, ω кон = 0, тогда Δω = – 1, время торможения t i = Т д / 3.
При изменении направления движения меняются начальные условия:
М с = – 1; ω нач = 0; М = – 2, начальное время Δt нач = Т д /3.
Тогда приращение скорости составит
Δω = (М – М с)*t i / Т д = (–2 – (–1))* t i / Т д = – t i / Т д.
При t i =Т д приращение скорости Δω = – 1, ω кон = –1, разгон в обратную сторону произойдет за Δt = Т д, реверс закончится за Δt = 4*Т д /3. В этот момент времени следует снизить момент двигателя до М = М с (см. рис. 4.1.3.2,б). Таким образом, при реактивном М с время реверса увеличилось
Когда момент, развиваемый двигателем, равен моменту сопротивления исполнительного органа, скорость привода постоянна.
Однако во многих случаях привод ускоряется или замедляется, т.е. работает в переходном режиме.
Переходным режимом электропривода называют режим работы при переходе от одного установившегося состояния к другому, когда изменяются скорость, момент и ток.
Причинами возникновения переходных режимов в электроприводах является изменение нагрузки, связанное с производственным процессом, либо воздействие на электропривод при управлении им, т.е. пуск, торможение, изменение направления вращения и т.п., а также нарушение работы системы электроснабжения.
Уравнение движения электропривода должно учитывать все моменты, действующие в переходных режимах.
В общем виде уравнение движения электропривода может быть записано следующим образом :
При положительной скорости уравнение движения электропривода имеет вид
. (2.10)
Уравнение (2.10) показывает, что развиваемый двигателем вращающий момент уравновешивается моментом сопротивления и динамическим моментом . В уравнениях (2.9) и (2.10) принято, что момент инерции привода является постоянным, что справедливо для значительного числа исполнительных органов.
Из анализа уравнения (2.10) видно:
1) при > , , т.е. имеет место ускорение привода;
2) при < , , т.е. имеет место замедление привода (очевидно, замедление привода может быть и при отрицательном значении момента двигателя);
3) при = , ; в данном случае привод работает в установившемся режиме.
Динамический момент (правая часть уравнения моментов) проявляется только во время переходных режимов, когда изменяется скорость привода. При ускорении привода этот момент направлен против движения, а при торможении он поддерживает движение.
2.5. Установившееся движение и устойчивость
установившегося движения электропривода
Имея механическую характеристику двигателя и исполнительного органа, нетрудно определить выполнимость условия установившегося движения . Для этого совместим в одном и том же квадранте эти характеристики. Факт пересечения этих характеристик говорит о возможности совместной работы двигателя и исполнительного органа, а точка их пересечения является точкой установившегося движения, так как в этой точке и .
На рисунке 2.4 показаны механические характеристики вентилятора (кривая 1) и двигателя независимого возбуждения (прямая 2). Точка А является точкой установившегося движения, а ее координаты – координатами установившегося движения вентилятора.
Рис. 2.4. Определение параметров установившегося движения
Для полного анализа установившегося движения необходимо определить, является ли это движение устойчивым. Устойчивым будет такое установившееся движение, которое, будучи выведенным из установившегося режима каким-то внешним возмущением, возвращается в этот режим после исчезновения возмущения .
Для определения устойчивости движения удобно пользоваться механическими характеристиками.
Необходимым и достаточным условием устойчивости установившегося движения является противоположность знаков приращения скорости и возникающего при этом динамического момента, т.е.
Оценим в качестве примера (рис. 2.5) устойчивость движения электропривода. Установившееся движение возможно с двумя скоростями: в точке 1 и в точке 2, в которых . Определим, устойчиво ли движение в обеих точках.
Рис. 2.5. Определение устойчивости механического движения
Точка 1. Предположим, что под действием кратковременного возмущения скорость увеличилась до значения , после чего воздействие исчезло. По механической характеристике АД скорости будет соответствовать момент .
В результате этого динамический момент =станет отрицательным, и привод начнет тормозиться до скорости , при которой .
Если возмущение вызовет снижение скорости до значения , то мо-
мент АД возрастет до значения , динамический момент
= станет положительным, и скорость увеличится до прежнего значения . Таким образом, движение в точке1 со скоростью является устойчивым.
При проведении аналогичного анализа можно сделать вывод о неустойчивости движения электропривода в точке 2со скоростью .
Устойчивость или неустойчивость движения может быть определена и аналитически с помощью понятия жесткости механических характеристик АД и исполнительного органа: . Условие устойчивости :
или . (2.12)
Для рассматриваемого примера , поэтому устойчивость определяется знаком жесткости характеристики АД: для точки 1 движение устойчиво, а для точки 2 и движение неустойчиво.
Отметим, что в соответствии с уравнением (2.10) при определенной жесткости устойчивая работа электропривода возможна и при положительной жесткости механической характеристики АД, в частности, на так называемом нерабочем участке характеристики АД.
2.6. Неустановившееся движение электропривода
при постоянном динамическом моменте
Неустановившееся механическое движение электропривода возникает во всех случаях, когда момент двигателя отличается от момента нагрузки, т.е. когда .
Рассмотрение неустановившегося движения электропривода имеет своей основной целью получение зависимостей во времени выходных механических координат электропривода – момента , скорости и положение вала двигателя . Кроме того, часто требуется определить время неустановившегося движения (переходного процесса) электродвигателя. Отметим, что законы изменения моментов двигателя и нагрузки должны быть предварительно заданы.
Рассмотрим неустановившееся движение при постоянном динамическом моменте во время пуска электродвигателя. Предполагается, что во время пуска электродвигателя и , но .
Решая уравнение механического движения электропривода, получаем следующую зависимость :
; (2.13)
Уравнение (2.14) получено с учетом равенств и .
Полагая в уравнении (2.13) и , находим время изменения скорости от до
. (2.15)
Характеристики , , представлены на рисунке 2.6.
Рис. 2.6. Характеристики , ,
при пуске ЭД
В уравнениях (2.13), (2.14) и (2.15) момент принят равным среднему моменту при пуске двигателя, поэтому полученные выше аналитические соотношения используют только при выполнении различных приближенных расчетов в электроприводе. В частности, неустановившееся движение может быть рассмотрено при торможении и реверсе электропривода, или при переходе с одной характеристики на другую.
2.7. Неустановившееся движение электропривода
при линейной зависимости моментов двигателя
и исполнительного органа от скорости
Рассматриваемый вид движения является весьма распространенным.
На рисунке 2.7 представлены механические характеристики ЭД и ИО при пуске электродвигателя.
Рис. 2.7. Механические характеристики ЭД и ИО при пуске электродвигателя
Механические характеристики ЭД и ИО можно выразить аналитически следующими уравнениями:
В уравнениях (2.16) и (2.17) и – коэффициенты жесткости механических характеристик ЭД и ИО.
Подставляя выше приведенные уравнения в уравнение механического движения электропривода, получаем следующие уравнения для зависимостей , , .
где – электромеханическая постоянная времени в секундах, учитывающая механическую инерционность привода и влияющая на время пуска электропривода.
Полученные выражения (2.18)–(2.20) могут использоваться для анализа переходных процессов различного вида, но в каждом конкретном случае должна быть определена электромеханическая постоянная времени , а также начальные и конечные значения координат , , , . В частном случае, когда и , эти величины могут быть определены по формулам:
; (2.21)
; , (2.22)
где– это время, в течение которого электропривод запускается до скорости при . Тогда . Так как обычно момент двигателя при пуске изменяется, то на практике время пуска в секундах определяют по выражению , или по следующему выражению: .
Зависимости , приведены на рисунке 2.8.
Рис. 2.8. Зависимости ,
при пуске электродвигателя
2.8. Неустановившееся движение электропривода
при произвольной зависимости динамического момента
от скорости
При определении ; ; при сложных зависимостях
момента двигателя и момента сопротивления от скорости, пользуются численным методом Эйлера.
Суть его в том, что в уравнении движения электропривода дифференциалы переменных и заменяются малыми приращениями
и .
Покажем использование метода Эйлера на примере пуска асинхронным электродвигателем центробежного насоса. Механические характеристики ЭД
и центробежного насоса приведены на рис. 2.9 .
Рис. 2.9. Механические характеристики ЭД и ИО
1. Ось скорости разбивают на малые и равные участки ∆ ω.
2. На каждом участке определяют средние моменты и т.д., и т.д.
3. Затем составляется таблица 2.1 и по ней определяют зависимости .
Таблица 2.1
| ω 1 =∆ω 1 | t 1 =∆t 1 | ||
| ω 2 =ω 1 +∆ω 2 | t 2 = t 1 +∆t 2 | ||
| ω 3 =ω 2 +∆ω 3 | t 3 =t 2 +∆t 3 | ||
| … | … | … | … |
| ω n | М д n | t n |
; и т.д.– угловые скорости ЭД и ИО; .
Коробки скоростей или механические вариаторы могут быть громоздкими (сложными). Их применение уменьшает надежность и КПД электропривода. Поэтому на практике в основном применяют электрический способ регулирования, воздействуя на параметры электродвигателя или источника питания. Этот способ имеет лучшие технико-экономические показатели. Однако на некоторых металлообрабатывающих станках применяют смешанный способ регулирования.
В теории электропривода механические, электрические и магнитные переменные, характеризующие работу двигателя, – скорость, ускорение, положение вала, момент, ток, магнитный поток и т.д. – часто называют координатами . Поэтому управление движением исполнительного органа электрическим способом осуществляется за счет регулирования координат (переменных) электродвигателя.
Существенно отметить, что регулирование координат электропривода должно осуществляться для управления как установившимся, так и неустановившимся движением исполнительного органа.
Типичным примером регулирования переменных может служить ЭП пассажирского лифта. При пуске и останове кабины для обеспечения комфортности пассажиров ускорение и замедление ее движения не должно быть выше допустимого уровня. Перед остановкой скорость кабины должна снижаться, т.е. она должна регулироваться. И, наконец, кабина с заданной точностью должна останавливаться на требуемом этаже, т.е. необходимо обеспечивать заданное положение (позиционирование) кабины лифта.
Пользуясь рассмотренным примером, отметим то важное обстоятельство, что часто электропривод должен обеспечить регулирование одновременно нескольких координат: скорости, ускорения и положения исполнительного органа.
При изготовлении бумаги, тканей, кабельных изделий, различных пленок, прокатке металлов требуется обеспечение определенного натяжения этих материалов, что также осуществляется с помощью ЭП. Регулирования координат требуют и многие другие рабочие машины и механизмы: подъемные краны, металлообрабатывающие станки, транспортеры, насосные агрегаты, роботы и манипуляторы и т.д.
Для проектирования электропривода необходимо знать кинематику и эксплуатационные условия рабочей машины. Нагрузка на валу электродвигателя слагается из статической и динамической нагрузок. Первая обусловливается полезными и вредными сопротивлениями движению (от сил трения, резания, веса и т. п.); вторая возникает применениях кинетической энергии в системе привода вследствие изменения скорости движения тех или иных частей устройства. В соответствии с этим момент, развиваемый двигателем,
В этом выражении М ст
- статический момент, обусловленный силами полезных и вредных сопротивлений. Он может не зависеть от частоты вращения (рис. 16.2, прямая 1),
если создается трением, силами сопротивления при резании металла и т. п., или может в какой-то степени зависеть от частоты вращения. Например, у центробежного насоса, питающего систему с постоянным напором, статический момент складывается из постоянной составляющей и составляющей, пропорциональной квадрату частоты вращения (рис. 16.2, кривая 2).
Момент может зависеть от скорости линейно (3)
и нелинейно (4).
Входящая в уравнение моментов (16.1) величина
называется динамическим моментом. Этот момент может быть как положительным, так и отрицательным.
Величина J, которой M ДИН пропорционален, называется моментом инерции. Это - взятая для всего тела сумма произведений масс m k отдельных частиц тела на квадрат расстояния R k соответствующей частицы от оси вращения:
Обычно момент инерции удобно выразить как произведение массы тела на квадрат радиуса инерции R ин т. е.
где R ин - расстояние от оси вращения, на котором нужно сосредоточить в одной точке всю массу тела, чтобы получить момент инерции, равный фактическому при распределенной массе. Радиусы инерции простейших тел указываются в справочных таблицах.
Вместо момента инерции в расчетах приводов применялось понятие махового момента - величины, связанной с моментом инерции простым соотношением:
где G - вес тела; D = 2R ин - диаметр инерции; g - ускорение силы тяжести; GD 2 - маховой момент.
Моменты инерции роторов и якорей электродвигателей обычно указываются в каталогах. Желательно, чтобы приводной электродвигатель был соединен с рабочим органом рабочей машины (например, с резцом) непосредственно, без каких-либо промежуточных зубчатых или ременных передач. Однако в большом числе случаев это неосуществимо из-за того, что рабочий орган должен иметь относительно небольшую частоту вращения (50-300 об/мин) при высокоскоростном электродвигателе. Изготовлять специальный тихоходный электродвигатель невыгодно. Он будет иметь слишком большие габариты и массу. Рациональнее с тихоходным приводом соединить через редуктор нормальный электродвигатель (750-3000 об/мин).
Но при расчетах сложной системы привода с вращательными или" поступательными движениями и различными скоростями отдельных ее элементов целесообразно заменить ее приведенной системой
- упрощенной системой, состоящей из одного элемента, вращающегося с частотой электродвигателя. При переходе к приведенной системе от действительной моменты в системе пересчитываются таким образом, чтобы остались неизменными энергетические условия.
Например, двигатель, угловая скорость вала которого ω дв, соединен через одноступенчатую зубчатую передачу с рабочей машиной (рис. 16.3), угловая скорость которой ω р _ м. Если пренебречь потерями в передаче (они учитываются в приведенной системе), то из условия неизменности мощности следует:
где М ст - искомый статический момент рабочей машины, приведенный к валу двигателя (т. е. угловой скорости вала двигателя); М р м - действительный статический момент рабочей машины на ее валу; k пер = ω дв /ω р, м - передаточное число от двигателя к рабочей машине. Если рабочий орган под действием силы F p , M выполняет не вращательные, а поступательные движения со скоростью υ P , M , то на основании неизменности мощности
и, следовательно, искомый приведенный статический момент
В приведенной системе должны быть представлены и приведенные моменты инерции.
Приведенный момент инерции системы есть момент инерции системы, состоящей только из элементов, вращающихся с частотой вращения вала двигателя ω дв, но обладающих запасом кинетической энергии, равным запасу кинетической энергии действительной системы. Из условия неизменности кинетической энергии следует, что для системы, состоящей из соединенных через одну зубчатую передачу двигателя и вращающейся с угловой скоростью ω р, м рабочей машины, обладающей моментом инерции J P , м,
или искомый приведенный момент инерции системы
Таким образом, для сложного привода в уравнениях (16.1) и (16.4) подразумеваются приведенные значения статических моментов инерции. Если известен момент М, выраженный в Н-м, и частота вращения п, об/мин, то соответствующая мощность Р, кВт,
где коэффициент 9550 = 60-10 3 /2л не имеет размерности.
